从将等式视为一个真值(一个命题)，到将等式视为一个空间(一个类型)。

　　几何化逻辑：它将逻辑中静态的“真”与“假”，提升为几何中“连接”与“变形”。一个证明不再是一个符号性的、满足规则的墓碑，而是一条可以探索的“路径”。

　　高阶结构：它引入了“证明的证明”(路径之间的同伦)、“证明的证明的证明”(同伦之间的同伦)等无限丰富的层次结构。这为描述数学对象的高阶对称性提供了语言。

　　泛等公理(Univalence Axiom)

　　它将范畴论中“在唯一同构意义下”的哲学直觉，变成了一个可以计算的、作为数学推理基石的形式原则。它宣称，数学宇宙的构造方式使得“等价的就是相等的”。

　　HoTT潜藏着其作为传统柏拉图数学范式之巅峰与终局的本质。

　　静态的宇宙观：HoTT的类型宇宙(Type)是一个预先给定的、完美的、无限的柏拉图领域。所有的点、所有的路径、所有的同伦，都“已然存在”。数学家的工作是发现和探索这个宇宙，而不是生成它。这是一个关于存在(Being)的理论，而非关于生成(Becoming)的理论。

　　对连续性的先验依赖：HoTT的几何直观强烈地依赖于一个经典的、连续的背景概念。无论是在模型论中使用的拓扑空间，还是在Cubical类型论中形式化的“区间” I，都预设了一个连续的、无限可分的背景布景。它用这个连续的背景来定义离散的证明对象(路径)，

　　新数学看来，是本末倒置的。新数学的观点是，连续性应当是离散生成过程在宏观层面的涌现现象，而非逻辑的先天基础。

　　3 无法描述生成过程：HoTT可以精美地描述一个圆(S1)作为一个数学对象拥有多么丰富的结构(一个点base和一条路径loop，以及loop的无穷自同伦)。但它无法回答“这个圆是如何被生成的?”它描述了状态，而非过程。新数学的“规则优先于对象”的思想，正是要颠覆这一点。

　　对实无限的承诺：HoTT不仅承诺了单个类型的无限层次结构(如自然数)，更承诺了类型宇宙本身的无限塔(Type0, Type1, Type2, ...)。

　　区分表格：

　　特征传统集合论同伦类型论新数学

　　核心概念集合与归属类型与路径规则与生成过程

　　等式观布尔值空间/类型协调性证明

　　存在论静态的柏拉图世界静态但更丰富的柏拉图世界动态的、时间性的生成

　　无限观承诺实无限承诺实无限(更高阶)废除无限，只承认有限生成

　　连续性作为假设(实数)作为几何直观的基础作为离散过程的涌现现象

　　因此，我们可以将HoTT视为经典柏拉图数学思想在21世纪所能达到的最复杂、最精妙的形式之一。它试图通过几何的无限丰富性来弥补集合论在描述“同一性”时的贫乏。